حل تمرین صفحه 10 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 10ریاضی دوازدهم برای رسم نمودار هر یک از توابع، از تبدیلات نمودار تابع مادر $f(x) = x^3$ استفاده می‌کنیم. دامنه و برد تابع $x^3$ برابر $\mathbb{R}$ است. ### الف) $y = (x - 1)^3 - 1$ این نمودار با دو انتقال بر روی $y = x^3$ به دست می‌آید: 1. **انتقال افقی:** ۱ واحد به **راست** (ناشی از $x-1$). 2. **انتقال عمودی:** ۱ واحد به **پایین** (ناشی از $-1$). * **نقطه عطف (مرکز تقارن):** $(0, 0) \to (1, -1)$. * **دامنه ($ ext{D}$):** $\mathbb{R}$ (چون چند جمله‌ای است). * **برد ($ ext{R}$):** $\mathbb{R}$ (چون تابع صعودی مطلق است). ### ب) $y = -(x + 2)^3 - 2$ این نمودار با سه تبدیل بر روی $y = x^3$ به دست می‌آید: 1. **قرینه سازی:** قرینه نسبت به محور $x$ (ناشی از علامت منفی). 2. **انتقال افقی:** ۲ واحد به **چپ** (ناشی از $x+2$). 3. **انتقال عمودی:** ۲ واحد به **پایین** (ناشی از $-2$). * **نقطه عطف (مرکز تقارن):** $(0, 0) \to (-2, -2)$. * **دامنه ($ ext{D}$):** $\mathbb{R}$. * **برد ($ ext{R}$):** $\mathbb{R}$ (چون تابع نزولی مطلق است). **توجه:** رسم دقیق نمودارها باید با جابجایی نقطه عطف و حفظ جهت صعودی (در الف) یا نزولی (در ب) انجام شود.

حل تمرین 2 صفحه 10 ریاضی دوازدهم برای رسم نمودار تابع چند ضابطه‌ای، هر ضابطه را در بازه خود رسم و سپس بازه‌های صعودی، نزولی و ثابت را مشخص می‌کنیم. ### 1. رسم نمودار 1. **ضابطه اول: $y = -2x - 3$ برای $x < -4$** * شیب منفی است، پس تابع **نزولی** است. * نقطه انتهایی (مرزی): $f(-4) = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. در $x=-4$ دایره توخالی است. * نقاط کمکی: $f(-5) = -2(-5) - 3 = 10 - 3 = 7$. 2. **ضابطه دوم: $y = 3$ برای $-4 \le x < 2$** * تابعی **ثابت** است. * نقاط مرزی: $f(-4) = 3$ (دایره توپر) و $f(2) = 3$ (دایره توخالی). 3. **ضابطه سوم: $y = 3x - 2$ برای $x \ge 2$** * شیب مثبت است، پس تابع **صعودی** است. * نقطه ابتدایی (مرزی): $f(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$. در $x=2$ دایره توپر است. * نقاط کمکی: $f(3) = 3(3) - 2 = 7$. ### 2. تعیین بازه‌های صعودی، نزولی و ثابت 1. **بازه‌های صعودی:** * در بازه $(-\infty, -4)$، تابع $y = -2x - 3$ دارای شیب $-2$ (نزولی) است. * در بازه $[2, +\infty)$، تابع $y = 3x - 2$ دارای شیب $3$ است. $$\text{صعودی: } ,2 +\infty)$$ 2. **بازه‌های نزولی:** * در بازه $$$ (با احتساب حد بازه در نقطه اتصال) 3. **بازه‌های ثابت:** * در بازه $[-4, 2)$، تابع $y=3$ است. $$\text{ثابت: } [-4, 2)$$

حل تمرین 3 صفحه 10 ریاضی دوازدهم با بررسی نمودار از چپ به راست، بازه‌های تغییرات یکنواخت تابع را مشخص می‌کنیم: 1. **بازه‌های صعودی:** در این بازه‌ها نمودار رو به بالا حرکت می‌کند. * از $x = -6$ تا $x = -2$. * از $x = 3$ تا $x = 5$. $$\text{صعودی: } [-6, -2] \cup [3, 5]$$ 2. **بازه‌های نزولی:** در این بازه‌ها نمودار رو به پایین حرکت می‌کند. * از $x = 2$ تا $x = 3$. * از $x = 6$ تا $x = 8$. $$\text{نزولی: } [2, 3] \cup [6, 8]$$ 3. **بازه‌های ثابت:** در این بازه‌ها نمودار به صورت افقی حرکت می‌کند. * از $x = -2$ تا $x = 2$. $$\text{ثابت: } [-2, 2]$$ 4. **نکته (بازه $[5, 6]$):** در بازه $[5, 6]$ مقدار $y$ از $5$ به $0$ کاهش یافته، پس این بازه نیز **نزولی** است. * اصلاح بازه‌های نزولی: $[2, 3] \cup [5, 8]$. **پاسخ نهایی با احتساب جزئیات:** $$\text{صعودی: } [-6, -2] \cup [3, 5]$$ $$\text{نزولی: } [2, 3] \cup [5, 8]$$ $$\text{ثابت: } [-2, 2]$$

حل تمرین 5 صفحه 10 ریاضی دوازدهم ### 1. تعریف ضابطه تابع به صورت چند تکه‌ای $$f(x) = x^2 |x|$$ تابع قدر مطلق را تعریف می‌کنیم: $$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$ پس تابع $f(x)$ به صورت زیر می‌شود: $$f(x) = \begin{cases} x^2(x) & x \ge 0 \\ x^2(-x) & x < 0 \end{cases} \implies f(x) = \begin{cases} x^3 & x \ge 0 \\ -x^3 & x < 0 \end{cases}$$ ### 2. بررسی صعودی و نزولی بودن در بازه‌ها * **برای $x \ge 0$:** $f(x) = x^3$. تابع $x^3$ در بازه $,0 +\infty)$ **اکیداً صعودی** است. * مشتق: $f' = 3x^2 \ge 0$ * **برای $x < 0$:** $f = -x^3$. تابع $-x^3$ در بازه $$ **اکیداً نزولی** است. * مشتق: $f' = -3x^2$. چون $x^2 > 0$ برای $x \ne 0$، پس $f' < 0$ $ نزولی باشد. می‌دانیم که تابع در بازه $(-\infty, 0)$ نزولی است و در $,0$ است. $$\text{بنابراین، حداکثر مقدار } a \text{ که تابع در بازه } (-\infty, a] \text{ نزولی باشد، } a=0 \text{ است.}$$

حل تمرین 6 صفحه 10 ریاضی دوازدهم ### مثال تابع اکیداً صعودی تابعی که با افزایش $x$ مقدار $y$ آن همواره افزایش یابد. $$\text{تابع: } f(x) = x^3$$ * **دامنه:** $\mathbb{R}$ * **بررسی:** این تابع در تمام دامنه خود $(\mathbb{R})$ اکیداً صعودی است. (مشتق آن $3x^2$ همواره نامنفی است و فقط در یک نقطه صفر می‌شود، پس اکیداً صعودی است.) **مثال‌های دیگر:** $y = x$, $y = 2x - 5$, $y = e^x$, $y = \sqrt[3]{x}$. ### مثال تابع اکیداً نزولی تابعی که با افزایش $x$ مقدار $y$ آن همواره کاهش یابد. $$\text{تابع: } g(x) = -x$$ * **دامنه:** $\mathbb{R}$ * **بررسی:** این تابع (خط با شیب منفی) در تمام دامنه خود $(\mathbb{R})$ اکیداً نزولی است. **مثال‌های دیگر:** $y = -x^3$, $y = -5x + 1$, $y = (\frac{1}{2})^x$, $y = \frac{1}{x}$ (در هر یک از بازه‌های $(-\infty, 0)$ و $(0, +\infty)$).

حل تمرین 7 صفحه 10 ریاضی دوازدهم برای اینکه تابعی در دو بازه $(-\infty, 0)$ و $(0, +\infty)$ اکیداً صعودی باشد، باید در هر قسمت از نمودار، رو به بالا حرکت کند. اما برای اینکه در $\mathbb{R}$ اکیداً صعودی نباشد، باید در مرز بازه‌ها (نقطه $x=0$) یک جهش رو به پایین یا یک نقطه انفصال وجود داشته باشد. بهترین مثال برای این وضعیت، تابعی است که در $x=0$ یک **جهش نزولی** (Jump Discontinuity) داشته باشد. ### تابع پیشنهادی $$\text{تابع: } f(x) = \begin{cases} x - 2 & x < 0 \\ x & x > 0 \end{cases}$$ ### بررسی خواص تابع 1. **در بازه $(-\infty, 0)$:** تابع $f(x) = x-2$ یک خط با شیب مثبت ($1$) است. پس **اکیداً صعودی** است. 2. **در بازه $(0, +\infty)$:** تابع $f(x) = x$ یک خط با شیب مثبت ($1$) است. پس **اکیداً صعودی** است. 3. **در $\mathbb{R}$ اکیداً صعودی نیست:** اگر دو نقطه $x_1 = -1$ و $x_2 = 1$ را در نظر بگیریم: $$\text{چون } x_1 < x_2 \text{ است، باید } f(x_1) < f(x_2) \text{ باشد.}$$ $$\text{مقایسه: } f(-1) = -1 - 2 = -3$$ $$\text{مقایسه: } f(1) = 1$$ چون $f(-1) = -3 < f(1) = 1$ است، این تابع در کل $\mathbb{R}$ نیز صعودی است. **این تابع مثال مناسبی نیست.** ### مثال مناسب (با گسستگی نزولی) تابعی را انتخاب می‌کنیم که در $x=0$ یک جهش نزولی داشته باشد: $$\text{تابع: } f(x) = \begin{cases} x & x < 0 \\ x - 2 & x > 0 \end{cases}$$ **بررسی صعودی بودن در $\mathbb{R}$:** دو نقطه $x_1 = -1$ و $x_2 = 1$ را در نظر می‌گیریم. $x_1 < x_2$: $$\text{مقایسه: } f(-1) = -1$$ $$\text{مقایسه: } f(1) = 1 - 2 = -1$$ چون $f(-1) = -1$ و $f(1) = -1$ است، پس $f(x_1) \not< f(x_2)$. یعنی تابع در کل $\mathbb{R}$ **اکیداً صعودی نیست** (و حتی صعودی هم نیست). **نمودار:** دو خط موازی $y=x$ و $y=x-2$ که اولی در سمت چپ محور $y$ و دومی در سمت راست محور $y$ رسم می‌شود. در $x=0$، نمودار از $y=0$ (نزدیک) به $y=-2$ (نزدیک) می‌پرد.